Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

$$a^2+b^2=c^2$$

Dowód J. Garfielda


Bierzemy takie odcinki $$a$$, $$b$$ i $$c$$, żeby utworzyły trójkąt prostokątny.

Rysujemy trapez prostokątny o podstawach $$b$$ i $$a$$ oraz wysokości $$a+b$$.

Dzielimy go na trzy trójkąty prostokątne: dwa o przyprostokątnych $$a$$ i $$b$$ (czerwone) oraz równoramienny o przyprostokątnej $$c$$ (zielony).

Liczymy pole trapezu na dwa sposoby: raz jako trapez, raz jako suma trzech trójkątów.

$$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(ab+ab+c^2)$$

$$(a+b)^2=2ab+c^2$$

$$a^2+b^2+2ab=2ab+c^2$$

$$a^2+b^2=c^2$$