Nierówność Bernoulliego

Nierówność Bernoulliego, ''ang. Bernoulli's inequality'':

Jeżeli $$x>-1$$ i $$a \geq 1$$, to

$$(1+x)^a \geq 1+ax$$.

Równość zachodzi tylko dla $$a=1$$ lub $$x=0$$.

Dowód
Dla $$a=1$$ otrzymujemy $$1+x \geq 1+x$$. Dalej załóżmy, że $$a>1$$.

Rozpatrzmy funkcję $$f(x)=(1+x)^a-ax-1$$ (zgodnie z założeniami $$D_f=(-1;+ \infty)$$).

Funkcja $$f$$ jest ciągła, więc różniczkowalna, a jej pochodna jest równa $$f'(x)=a((1+x)^{a-1}-1)$$.

Zauważmy, że (patrz rysunek obok) funkcja $$f'$$ przyjmuje wartości dodatnie dla $$x>0$$, ujemne dla $$-1 \lt x \lt 0$$ oraz przecina oś OX w punkcie $$(0,0)$$.

Zatem funkcja $$f$$ jest rosnąca dla $$x \in (0;+ \infty)$$, malejąca dla $$x \in (-1; 0)$$ i ma minimum globalne w $$x=0$$. Oznacza to, że funkcja $$f$$ przyjmuje wartości nieujemne, więc $$(1+x)^a \geq 1+ax$$, przy czym równość zachodzi dla $$x=0$$ i, jak wyżej, $$a=1$$.

Zastosowania
W fizyce, dla $$a$$ bliskich 1, używa się przybliżenia $$(1+x)^a \approx 1+ax$$.

Zobacz też

 * Matematyka elementarna, str. 62
 * Matematyka elementarna, str. 62