Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów /kosinusów/, twierdzenie Carnota /karno/: W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie zachodzą równości:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos \alpha$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos \beta$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2bc cos \gamma$$

Dowód „klasyczny”


Prowadzimy wysokość z punktu C. Dzieli ona bok c na odcinki $$c_1$$ i $$c_2$$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów ACD i BCD, dostajemy układ równań:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} a^2=c_1 ^2+h^2\\ h^2=b^2-c_2 ^2 \end{array} \right. $$

Podstawiając $$h^2$$ do równania górnego, otrzymujemy

$$a^2=c_1^2+b^2-c_2^2$$.

Dopisując $$c_2^2+2c_1c_2-c_2^2-2c_1c_2$$ do prawej strony, otrzymamy

$$a^2=c_1^2+b^2-c_2^2+c_2^2+2c_1c_2-c_2^2-2c_1c_2=b^2+c_1^2+2c_1c_2+c_2^2-2c_2^2-2c_1c_2$$.

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia oraz wyciągając $$c_2$$ przed nawias, dostajemy

$$a^2=b^2+(c_1+c_2)^2-2c_2(c_1+c_2)$$.

Podstawiając $$c$$ za $$c_1+c_2$$, otrzymujemy

$$a^2=b^2+c^2-2cc_2$$.

Podstawiając $$b\cos \alpha$$ za $$c_2$$, otrzymujemy

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$.

Dowód „wektorowy"


Narysujmy wektory $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$. Jak nietrudno zauważyć, $$\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$$.

Spełnione jest więc także równanie $$\vec{a}^2=(\vec{b}+\vec{c})^2$$.

Zauważmy, że $$\vec{v}^2=\vec{v}\circ\vec{v}=v*v*\cos0=v^2$$.

Korzystając z tego, otrzymujemy $$a^2=b^2+c^2+2(\vec{b}\circ\vec{c})=b^2+c^2+2*bc\cos(180-\alpha)=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$.

Zobacz też

 * Twierdzenie Pitagorasa - szczególny przypadek twierdzenia cosinusów
 * Twierdzenie Dijkstry - wniosek z twierdzenia cosinusów
 * Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snelliusa)
 * Twierdzenie tangensów (twierdzenie Regiomontana)