Twierdzenie Cevy

Jeżeli w trójkącie $$ABC$$ poprowadzę trzy czewiany $$AD$$, $$BE$$ i $$CF$$, które przecinają się w jednym punkcie (niekoniecznie wewnątrz trójkąta), to zachodzi równość $$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$$. Zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Dowód
Wiemy, że $$\frac{BD}{DC}=\frac{P(ADB)}{P(ADC)}$$ oraz $$\frac{BD}{DC}=\frac{P(ODB)}{P(ODC)}$$, a zatem $$\frac{BD}{DC}=\frac{P(AOB)}{P(AOC)}$$.

Analogicznie otrzymujemy $$\frac{AF}{FB}=\frac{P(COB)}{P(AOB)}$$ oraz $$\frac{CE}{EA}=\frac{P(AOC)}{P(COB)}$$.

Mnożąc wszystko stronami, otrzymujemy równanie:

$$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{P(COB)}{P(AOB)} \cdot \frac{P(AOB)}{P(AOC)} \cdot \frac{P(AOC)}{P(COB)} = 1$$.

Przykłady
Przykładowe czewiany spełniające twierdzenie Cevy (oraz punkty, w których się przecinają):
 * wysokości (spodek wysokości)
 * środkowe (środek ciężkości)
 * dwusieczne (incentrum)
 * symediany (punkt Lemoine'a)
 * czewiany zawierające środek okręgu opisanego (tzn. odcinki izogonalnie sprzężone z wysokościami)

Uogólnienia

 * - uogólnienie na więcej wymiarów
 * - uogólnienie na więcej boków

Linki zewnętrzne

 * Deltoid 2/11
 * Deltoid 2/11