Nierówność Höldera

Nierówność Höldera, ''ang. Hölder's inequality'':

Dla $$p,q>1$$ takich, że $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$, $$n\in\mathbb{N}$$, $$a_i, b_i >0$$ dla $$i=1,2,...,n$$ zachodzi nierówność

$$(\sum^n_{i=1} a_i^p)^{\frac{1}{p}} (\sum^n_{i=1} b_i^q)^{\frac{1}{q}} \geq \sum^n_{i=1} a_ib_i$$

Dowód
Zauważmy, że ta nierówność jest jednorodna względem zmiennych $$a_i$$, więc możemy założyć, że $$\sum^n_{i=1} a_i^p=1$$. Podobnie, załóżmy że $$\sum^n_{i=1} b_i^q=1$$. Wystarczy pokazać, że $$\sum^n_{i=1} a_ib_i \leq 1$$.

Szczególne przypadki
W przypadku $$p=q=2$$ otrzymujemy nierówność Cauchy'ego-Schwarza.