Chińskie Twierdzenie o Resztach

$$\newcommand{\Mod}[1]{\mathrm{mod}\ #1}$$ Chińskie Twierdzenie o Resztach, Orientalna Prawidłowość o Pozostałościach, ''ang. Chinese remainder theorem (CRT)'': Dla danego układu kongruencji $$\left\{ \begin{array}{ll} x \equiv a_1\ (\Mod {p_1}) \\ x \equiv a_2\ (\Mod {p_2}) \\ \vdots \\ x \equiv a_n\ (\Mod {p_n}) \end{array} \right.$$ , gdzie $$a_1, a_2, ..., a_n, p_1, p_2, ..., p_n \in \mathbb{N}$$ oraz $$\forall i, j \ NWD(p_i, p_j)=1$$ ($$p$$ są parami względnie pierwsze), istnieje dokładnie jedno $$x\in\mathbb{N}$$ z przedziału $$[1,p_1p_2...p_n]$$, które spełnia ten układ kongruencji.

Dowód istnienia $$x$$
Oznaczmy przez $$M$$ iloczyn $$p_1p_2...p_n$$.

Oznaczmy przez $$M_i$$ iloraz $$\frac{M}{p_i}$$. Zauważmy, że zachodzi zależność $$NWD(M_i,p_i)=1$$.

Wiadomo, że równanie $$ax+by=NWD(a,b)$$ dla danych $$a,b$$ ma rozwiązanie w liczbach całkowitych. Zatem istnieją $$x_i, y_i$$ będące rozwiązaniem równania $$M_ix_i+p_iy_i=1$$

Wiemy, że dla danego $$i$$ zachodzi $$x \equiv a_i\ (\Mod {p_i})$$. Z powyższego równania wiemy, że $$M_ix_i \equiv 1\ (\Mod p_i)$$, więc $$x \equiv a_iM_ix_i\ (\Mod p_i)$$. Zauważmy, że dla każdego $$j \neq i$$ zachodzi $$a_jM_jx_j \equiv 0\ (\Mod p_i)$$, ponieważ $$M_j \equiv 0\ (\Mod p_i)$$. Zatem rozwiązaniem układu jest liczba $$x=a_1M_1x_1 + a_2M_2x_2 + ... + a_nM_nx_n\ (\Mod M)$$.

Dowód wyłączności $$x$$
Załóżmy nie wprost, że istnieją takie $$x_1, x_2$$, że $$\forall i \ x_1 \equiv a_i\ (\Mod p_i) \land x_2 \equiv a_i\ (\Mod p_i)$$. Zatem $$\forall i \ p_i|x_1-x_2$$, więc $$M|x_1-x_2$$. Wiemy jednak, że $$x_1, x_2 \leq M$$, więc $$x_1=x_2$$. Istnieje zatem tylko jedno rozwiązanie układu w tym przedziale.