Twierdzenie sinusów



Twierdzenie sinusów, twierdzenie Snelliusa, wzór sinusów, ''ang. law of sines'': Dla dowolnego trójkąta oznaczonego jak wyżej, zachodzi równość $$\frac{a}{sin \alpha} = \frac{b}{sin \beta} = \frac{c}{sin \gamma} = 2R$$

Dowód


Prowadzimy promienie ze środka okręgu opisanego $$O$$ do punktów $$A$$ i $$B$$.

Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym, $$\angle AOB = 2\gamma$$.

Prowadzimy wysokość (i zarazem dwusieczną) $$OD$$.

Zauważmy, że w zaznaczonym trójkącie $$sin \gamma = \frac{\frac{c}{2}}{R}$$, czyli $$\frac{c}{sin \gamma} = 2R$$.

Podobne rozumowania prowadzimy dla przypadków, gdy kąt $$\gamma$$ jest prosty oraz rozwarty.

Analogiczne rozumowanie prowadzimy dla pozostałych boków.

Zobacz też

 * Twierdzenie cosinusów (twierdzenie Carnota)
 * Twierdzenie tangensów (twierdzenie Regiomontana)