Twierdzenie Leibniza o ciągach

Jeżeli ciąg $$a_n$$ jest, a ciąg $$b_n$$ jest zbieżny do zera, to ciąg $$a_n*b_n$$ też jest zbieżny do zera.

Przykład
Ciąg $$a_n=(-1)^n$$ jest ograniczony, ponieważ dla dowolnego $$n$$ zachodzi $$1 \geq a_n \geq -1$$.

Ciąg $$b_n={1 \over n}$$ jest zbieżny do zera.

Zatem z twierdzenia Leibniza $$\lim_{n \to \infty} a_nb_n = \lim_{n \to \infty} {-1^n \over n} = 0\,$$.

Dowód
$$\lim_{n \to \infty} \sup a_n * b_n = \lim_{n \to \infty} \inf a_n * b_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 0$$

$$\sup a_n * b_n \geq a_n * b_n \geq \inf a_n * b_n$$

Korzystając z powyższych zależności oraz z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

$$lim_{n \to \infty} a_n*b_n = 0$$.

Ciekawostki

 * Znane wśród studentów także jako twierdzenie ciasteczko.