Twierdzenie o dwusiecznej

W dowolnym trójkącie dwusieczna dzieli przeciwległy bok $$c$$ na takie odcinki $$c_1$$ i $$c_2$$, że $$\frac{a}{c_1}=\frac{b}{c_2}.$$

Dowód


Nazwijmy kąt naprzeciwko odcinka c jako $$2 \alpha$$, a kąty koło dwusiecznej - $$\beta$$ i $$180^{\circ} -\beta$$.

Z twierdzenia sinusów:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{a}{\sin \beta}=\frac{c_1}{\sin \alpha}\\ \frac{b}{\sin (180^{\circ}-\beta)}=\frac{c_1}{\sin \alpha} \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{a}{c_1}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\\ \frac{b}{c_2}=\frac{\sin (180^{\circ}-\beta)}{\sin\alpha}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} \end{array} \right.$$

$$\frac{a}{c_1}=\frac{b}{c_2}$$

Zobacz też

 * Twierdzenie o symedianie ()