Nierówność Jensena

Nierówność Jensena, ''ang. Jensen's inequality, Jensen's formula'':

Dla dowolnej funkcji wypukłej na swojej dziedzinie $$\mathbb{D_f}\subset\mathbb{R}$$, że $$f: \mathbb{D_f}\rightarrow\mathbb{R}$$, dowolnej liczby $$n\in\mathbb{N}$$, dowolnych liczb $$x_1, x_2,...,x_n\in\mathbb{D_f}$$ oraz dowolnych wag $$t_1, t_2,...,t_n\in\mathbb{R_+}$$ takich że $$t_1+t_2+...+t_n=1$$ zachodzi nierówność

$$f\left(\sum^n_{i=1} t_i x_i\right) \leq \sum^n_{i=1} t_i f(x_i)$$.

Analogiczna nierówność w drugą stronę zachodzi dla funkcji wklęsłej.

Dowód
Dowód będzie indukcyjny po $$n$$.

Baza indukcji
Nierówność $$f(t_1x_1+t_2x_2) \leq t_1f(x_1)+t_2f(x_2)$$ wynika bezpośrednio z definicji wypukłości funkcji.

Przypadek funkcji wklęsłej
Dla funkcji wklęsłej należy dokonać postawienia $$f=-f$$, gdyż funkcja odwrotna do wklęsłej jest wypukła.