Nierówności między średnimi

Nierówność między średnimi, nierówność Cauchy'ego, ''ang. inequality of means (RMS-AM-GM-HM inequality)'':

Dla dowolnych dodatnich liczb $$a_1, a_2,...,a_n\in\mathbb{R_+}$$ zachodzi nierówność

$$ \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}n} \geq \frac{a_1+a_2+...+a_n}n \geq \\ \geq \sqrt{a_1a_2...a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}.$$

Nierówność między średnią geometryczną a harmoniczną
Funkcja $$f(x)=\frac{1}{x}$$ jest malejąca na przedziale $$(0;+\infty)$$, wiemy również, że liczby $$x_1,x_2,...,x_n$$ są dodatnie. Zatem naszą nierówność

$$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \geqslant \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}$$

po przekształceniu przez funkcję $$f$$ przejdzie, ze zmianą kierunku nierówności, w nierówność

$$\sqrt[n]{\frac1{x_1}\frac1{x_2}...\frac1{x_n}} \leqslant \frac{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+...+\frac1{x_n}}{n}$$,

czyli znaną nam nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu $$\frac1{x_1},\frac1{x_2},...,\frac1{x_n}$$.